Durante décadas, los fractales inspiraron a artistas y científicos. Detrás de estos hipnóticos objetos se esconden verdades fundamentales sobre el comportamiento de sistemas complejos, desde las galaxias hasta las redes sociales. Qué son los procesos auto-similares y la simetría de escala.
El arte y la matemática tienen una relación simbiótica que data de, al menos, el siglo IV a. C. cuando el escultor Policleto postuló la existencia de una proporción ideal para la representación del cuerpo humano. Según él, si se divide la longitud de distintas partes del cuerpo, como las sucesivas falanges de los dedos o la relación entre el tamaño del tórax y los brazos, hay un número que aparece repetidamente: la raíz cuadrada de dos.
Este concepto influenció a artistas que van desde la antigua Grecia hasta el Imperio Romano y el Renacimiento. Tal vez el ejemplo más conocido de verdadera obsesión por las matemáticas fue el de Leonardo Da Vinci, de quien se decía que escondía mensajes ocultos en las proporciones con las que diseñaba sus pinturas (un mito tal vez exagerado por el fantasioso Código Da Vinci). Ya por ese entonces, la proporción dorada o áurea había cambiado de raíz de dos a un número aún más críptico, llamado phi o directamente número de Dios, de valor aproximado de 1.618. Es que en el Renacimiento, la matemática, el arte y el esoterismo eran casi disciplinas indivisibles.
En ese entonces, cual Jim Carrey en la película 23, la gente comenzó a ver la proporción áurea en todo tipo de organismos más allá del humano: desde la relación entre el grosor entre las ramas y el tronco de un árbol, la distancia entre los espirales de un caracol, hasta la disposición de las hojas del alcaucil. Por supuesto que esto se interpretó en clave mensaje divino, de ahí que se lo haya nombrado como número de Dios.
Más allá del número en sí, lo relevante es que la naturaleza está plagada de relaciones geométricas, es decir, de patrones que se van repitiendo a distintas escalas, por lo que si dividimos la longitud de las formas sucesivas, como los espirales del caracol, obtenemos aproximadamente siempre el mismo número.
La naturaleza está plagada de relaciones geométricas, es decir, de patrones que se van repitiendo a distintas escalas, por lo que si dividimos la longitud de las formas sucesivas, como los espirales del caracol, obtenemos aproximadamente siempre el mismo número.
En los periodos artísticos que siguieron, la matemática fue perdiendo relevancia a medida que las distintas disciplinas científicas y artísticas iban tomando caminos cada vez más divergentes, al menos en el mundo occidental. Ya no era común encontrar sabios "totales" que conjugaran arte y ciencia al estilo Da Vinci.
Sin embargo hay una excepción notable: el neerlandés Maurits Escher comenzó a interesarse por representar mediante el dibujo paradojas espaciales, construcciones imposibles, y sobre todo el concepto de infinito. Ya en la década de 1950 Escher había incurrido en la representación de objetos que se repetían a sí mismos a diferentes escalas.
A pesar de su estilo particular, la obra de Escher no gozó del reconocimiento del mundo artístico. Recién a partir de la década del sesenta, gracias a artículos de curiosidades matemáticas en periódicos, sus dibujos penetraron en la cultura popular. El punto cúlmine fue la publicación del libro de culto ganador del premio Pulitzer "Gödel, Escher, Bach: un eterno y grácil bucle", donde el autor Douglas Hofstadter analiza en extensas 700 páginas la profunda relación entre la música, el arte y la matemática a través de la obra de los tres sujetos del título.
Recién a mediados de la década del setenta, cerca de la fecha de publicación del libro de Gödel, Escher, Bach, se creó el término "fractal" para definir a un objeto geométrico que presenta la propiedad de "autosimilitud". De la mano de Benoit Mandelbrot, no sólo se desarrolló una nueva teoría matemática para el estudio de los fractales, sino que se obtuvieron imágenes de estos objetos que hacían parecer a los dibujos de Escher como meros garabatos de principiante. Concretamente, el llamado conjunto de Mandelbrot, en cuya definición no voy a meterme, se encuentra entre los objetos más fascinantes que ha dado el arte matemático. Véanlo ustedes mismos:
Al igual que los antiguos griegos buscando la proporción áurea en los espirales de un caracol, la ciencia del siglo XX también estudió las formas fractales que aparecían en la naturaleza. Si bien podemos considerar que, por ejemplo, los árboles presentan bifurcaciones en sus ramas, emulando un fractal, existen ejemplos donde el carácter fractal es mucho más explícito. Basta ver el vegetal llamado Romanesco, o la estructura de un cristal de hielo. Incluso la distribución de galaxias en el universo parece obedecer a una geometría fractal.
Para entender por qué este tipo de formas se dan en la naturaleza los físicos recurrieron a una de sus explicaciones favoritas: la simetría.
La idea es simple: a problemas simétricos corresponden soluciones simétricas. Por ejemplo, si aceptamos que la tierra tiene una forma aproximadamente esférica (perdón, terraplanistas) la atracción gravitatoria que experimenta un cuerpo sólo puede depender de la distancia a la superficie y no de las coordenadas de latitud y longitud. ¿Por qué? Porque una esfera es simétrica frente a una operación de rotación, entonces toda propiedad que emerja de la esfera también debe serlo.
En el caso de los fractales, el tipo de simetría, en lugar de ser rotacional o traslacional, es una simetría de escala: un cambio de escala o, si se quiere, de zoom, no altera las propiedades del sistema. En otras palabras, el proceso de formación de un fractal carece de una escala o longitud característica. Por eso también se lo conoce como proceso libre de escalas.
Esta forma de pensar los fractales como fenómenos libres de escala nos habilita a extender su definición a otro tipo de sistemas. Muchas formas naturales no son exactamente fractales, en el sentido de que si hacemos zoom no se obtiene una imagen idéntica. Sin embargo, pueden pensarse como resultado de un proceso estadístico libre de escalas: a distintas amplificaciones, vemos imágenes que son estadísticamente indistinguibles.
Un ejemplo de esto (con consecuencias geopolíticas) es la forma de las costas. Resulta que en 1951 hubo un conflicto entre España y Portugal por la longitud de las costas de ambos países. Para entender el porqué de la diferencia hay que conocer el método que se usaba para medir las costas: se toma el mapa y con una "regla" de tamaño fijo se cuenta cuántas veces entra la regla en el contorno de la costa. El problema es que, a medida que se usa una regla más corta, la longitud del contorno se hace más grande… infinitamente más grande.
Esto se conoce como la paradoja de la línea de costa. ¿Por qué sucede? El propio Mandelbrot descubrió que el problema es que las costas presentan rugosidades en todas las escalas posibles. En otras palabras, si tomamos una foto del contorno costero a diferentes grados de zoom, vamos a ver rugosidades similares: las siluetas de la costa a distintos grados de resolución son estadísticamente indistinguibles. ¿Son entonces las costas fractales? No en sentido estricto, pero sí en sentido estadístico, en términos de presentar un fenómeno libre de escala. Lo mismo puede decirse de las montañas o los paisajes naturales, que muestran rugosidades a toda escala, por lo que para recrear paisajes artificiales es necesario utilizar algoritmos de generación de fractales.
Una forma intuitiva de distinguir fenómenos libres de escala de los de escala fija es hacerse la siguiente pregunta: ¿qué tan probable es encontrar que X propiedad sea el doble o la mitad en dos ejemplares? Ejemplo concreto: ¿qué tan probable es encontrar un humano adulto con el doble de estatura que otro? Poco probable. Entonces en la distribución de estaturas sí hay una escala característica. En cambio: ¿qué tan probable es encontrar una montaña el doble de alta que otra? ¿O la mitad? Bastante probable.
Entonces la distribución de "accidentes geográficos" sigue una ley libre de escalas características, lo que explica lo que mencionamos de los paisajes como pseudo-fractales.
¿Y qué sucede con, por ejemplo, la distribución de la riqueza? Seguramente podemos encontrar fácilmente a alguien que gane el doble o la mitad de otra persona, sobre todo en sociedades cada vez más desiguales. Esto quiere decir que la distribución de riquezas también sigue una distribución libre de escalas. Lo mismo podríamos decir de la distribución de seguidores en redes sociales: Entramos en el pantanoso terreno de la estadística aplicada a comportamientos sociales.
Las distribuciones de probabilidad libres de escala como las que mencionamos se conocen como distribuciones de Pareto. Siempre que escuchemos una frase del tipo "el 20% de los individuos concentra el 80% de la riqueza" (hoy más cerca de ser 99 a 1) estamos hablando de una distribución de Pareto. ¿Qué relación hay con los fractales? La distribución de Pareto carece de una escala característica, entonces podemos encontrar muy pocos individuos que concentran la gran mayoría de una determinada propiedad. Lo mismo sucede con el ejemplo de las redes sociales: un reducido número de personas (influencers) concentra la mayor parte de las conexiones (o seguidores).
La teoría de los procesos libres de escala aplicada a las redes es parte del campo de la física de sistemas complejos, como hemos mencionado en un artículo anterior, y es responsable de algunos resultados curiosos. Tal vez el más conocido sea la propiedad de los seis grados de separación, que establece que si tomamos dos elementos al azar de una red A y B, podemos encontrar un camino de seis contactos que van de A hasta B.
El número seis es anecdótico y en la práctica puede cambiar por otro número del orden del uno al diez, lo que importa es que independientemente del tamaño de la red siempre podemos encontrar un camino muy corto entre dos nodos. Los sistemas que presenten esta propiedad se llaman redes de Mundo Pequeño.
La teoría de los procesos libres de escala aplicada a las redes es parte del campo de la física de sistemas complejos, y es responsable de algunos resultados curiosos. Tal vez el más conocido sea la propiedad de los seis grados de separación.
Ejemplos de esto son todas las redes sociales (Facebook tiene una distancia media entre usuarios de 4.74 y Twitter de 4.77), las redes neuronales en el cerebro, y entrando en el plano de lo bizarro, el índice Kevin Bacon. Resulta que el conjunto de todos los actores y actrices forma una red de Mundo Pequeño, y dado cualquier actor podemos encontrar un camino de películas en común que lo unan con Kevin Bacon. Como prueba inapelable se incluye el camino hasta Susana Giménez, y se invita a probar otros usando el siguiente link.
Este fenómeno se explica de la siguiente manera: si hay una organización libre de escala entonces habrá miembros de la red con un número arbitrariamente alto de conexiones. Estos elementos actúan como "puentes" entre regiones de la red que a priori parecerían distantes. Entonces las distancias sociales se ven recortadas por la intermediación de los miembros con un número masivo de conexiones.
Este tipo de conceptos pueden utilizarse para el estudio de propagación de mensajes en redes sociales, e incluso para la detección de bots, que alterarían la dinámica "natural" de difusión orgánica. Como ejemplo podemos citar el trabajo hecho por Analía Celeste Luis y Yamila Abbas para detectar trolls en la campaña de desprestigio en redes que sufrió el CONICET en 2016. Se trató de una práctica común en el gobierno de Mauricio Macri que terminó tomando el tono del meme con twits épicos como "Satisface a Mauricio, no te relajes! Caricia significativa proveniente de Hurlingham! #YoVotoMM" por parte del fantasmagórico usuario Lavonne Smythorsmith. En este trabajo las investigadoras usan elementos de la teoría de redes para identificar qué usuarios alteran la dinámica de Twitter de manera artificial.
A fin de cuentas, como sucede en las redes de Mundo Pequeño, todo tiene que ver con todo. Y entre Leonardo Da Vinci y los trolls de Marcos Peña hay también menos de seis grados de separación.
